Modelowanie numeryczne jest ważnym, jeśli nie najważniejszym, narzędziem wykorzystywanym w prognozowaniu pogody oraz predykcjach klimatycznych. W modelach pogody, klimatu i transportu zanieczyszczeń adwekcyjny transport powietrza, związków chemicznych lub zanieczyszczeń powinien być opisany z dużą precyzją. Co więcej, schematy adwekcyjne muszą respektować fundamentalne prawa fizyczne, takie jak zachowawczość, monotoniczność i korelacje pomiędzy transportowanymi składnikami.
Własności i błędy numeryczne schematu adwekcyjnego zależą od jego rzędu dokładności. W modelowaniu atmosfery powszechnie stosowane są schematy drugiego rzędu dokładności. Ostatnio daje się jednak zaobserwować trend ku algorytmom wyższego rzędu dokładności (tj. trzeciego lub wyższego). Połączenie wysokiego rzędu dokładności ze stabilnością schematu i respektowaniem praw fizycznych jest nietrywialne.
Niniejsza praca proponuje schemat adwekcyjny trzeciego rzędu dokładności w oparciu o istniejący algorytm MPDATA (Multidimensional Positive Definite Advection Transport Algorithm). Modele oparte o schemat MPDATA maja bogata historie zastosowań w geo- i astrofizyce. Standardowy schemat adwekcyjny MPDATA jest drugiego rzędu dokładności, zachowuje znak (opcjonalnie jest nieoscylacyjny) i jest w pełni wielowymiarowy. Warto podkreślić, ze w symulacjach przepływów turbulentnych MPDATA może modelować w niejawny sposób turbulencje podskalową.
Niniejsza praca rozszerza algorytm MPDATA do trzeciego rzędu dokładności dla przepływów zmiennych w czasie lub przestrzeni, jednocześnie utrzymując wszystkie zalety istniejących schematów MPDATA o drugim rzędzie dokładności. Zostało to osiągnięte przez wyprowadzenie wiodącego członu błędu obcięcia standardowego schematu MPDATA drugiego rzędu, przeprowadzenie procedury Cauchy-Kowalewskiej w celu wyrażenia go w formie przestrzennej i kompensacje jego dyskretnej postaci—w sposób bardzo podobny do tego jak standardowy schemat MPDATA poprawia błąd schematu pierwszego rzędu dokładności typu upwind. Procedura wyprowadzenia błędu obcięcia w formie przestrzennej została zautomatyzowana poprzez użycie systemu algebry komputerowej. Pozwala to na uwzględnienie różnych opcji algorytmu MPDATA bezpośrednio w schemacie trzeciego rzędu dokładności, ułatwiając w ten sposób implementacje algorytmu w istniejących kodach komputerowych. W duchu algorytmu MPDATA, bład jest kompensowany uzywajac schematu typu upwind, co skutkuje otrzymaniem algorytmu zachowującego znak, oraz wymagającym jedynie dwóch iteracji typu upwind. Różne opcje algorytmu MPDATA (takie jak: wersja w uogólnionych zmiennych krzywoliniowych lub opcja nieoscylacyjna) w sposób prosty mogą być zastosowane w schemacie o pełnym trzecim rzędzie dokładności.
Nowy schemat został zaimplementowany w bibliotece schematów MPDATA z otwartym kodem źródłowym, libmpdata++. W pracy przedstawiono główne idee przyświecające stworzeniu biblioteki, szczególnie podkreślając jej zamysł oparty na programowaniu obiektowym oraz użyciu nowoczesnych zasadach inżynierii oprogramowania. Przedyskutowana sa zalety takiego zaprojektowania biblioteki dla implementacji schematu o pełnym trzecim rzędzie dokładności.
Specjalnie skonstruowane trójwymiarowe rozwiązanie równania adwekcji jest użyte w celu weryfikacji teoretycznego wyprowadzenia oraz jego numerycznej implementacji. Standardowe testy transportu adwekcyjnego pozwalają na porównanie nowego schematu z innymi popularnymi schematami stosowanymi w meteorologii obliczeniowej. Demonstrują również jego zalety dla modeli transportu zanieczyszczeń używanych do monitorowania, prognozy, i kontroli jakości powietrza.
Zalety schematu MPDATA o pełnym trzecim rzędzie dokładności dla zastosowań w dynamice płynów są zilustrowane poprzez symulacje podwójnej warstwy ścinania, konwekcyjnej warstwy granicznej oraz wyidealizowanej superkomórki burzowej. W symulacjach podwójnej warstwy ścinania przeprowadzona została ilościowa analiza zwiększonej dokładności nowego schematu w modelu, który jako całość ma mniejszy rząd dokładności. Symulacje konwekcyjnej warstwy granicznej pokazują niejawny model turbulencji podskalowej nowego schematu MPDATA. Cechy schematu w symulacjach z parametryzowana mikrofizyka chmur zostały zbadane w teście wyidealizowanej superkomórki burzowej.
Podsumowując, użycie schematu MPDATA o trzecim rzędzie dokładności poprawiło wyniki symulacji w różnych testowanych przypadkach istotnych w modelowaniu atmosfery. Zalety nowego schematu są szczególnie dobrze widoczne w standardowych testach transportu adwekcyjnego, , zatem używanie go dla rozwiązywania transportu adwekcyjnego może być szczerze rekomendowane. Nowy algorytm MPDATA, lepiej niż jego wersja standardowa, modeluje w niejawny sposób turbulencje podskalowa. Skomplikowaność nowego schematu nie stanowi dużego problemu dzięki dostępnosci jego otwartej implementacji.