MSOŚ

O₅ – O₈

Badanie widm dyfrakcyjnych

SIATKA DYFRAKCYJNA

ZASADA POMIARU DŁUGOŚCI FALI ŚWIETLNEJ

WSTĘP

W badaniach ochrony środowiska pomiary wielkości skażeń metodami optycznymi zawsze zajmowały i nadal zajmują poczesne miejsce. Z tego względu w ramach I Pracowni ćwiczenia z optyki są mocno reprezentowane. Podczas wykonywania tych ćwiczeń poznają Państwo podstawowe prawa i przyrządy optyczne: soczewki, siatkę dyfrakcyjną, pryzmat. Osobne ćwiczenie jest poświęcone prawu Lamberta-Beera, które jest standardowo stosowane w optycznych technikach analizy chemicznej, w tym np. analizie zanieczyszczeń atmosfery.

Opisy do ćwiczeń zawierają wprowadzenie w badane zjawiska. Mimo to pożądane jest, aby Państwo przed przystąpieniem do ćwiczeń powtórzyli odpowiednie fragmenty fizyki.

SIATKA DYFRAKCYJNA

Skonstruowana przez J. von Fraunhofera w 1821 roku siatka dyfrakcyjna jest szeregiem szczelin liniowych, o jednakowej szerokości, leżących w równych odstępach, przedzielonych przegrodami nieprzezroczystymi dla światła. Po oświetleniu siatki każda ze szczelin zgodnie z zasadą Huygens’a jest źródłem fali kulistej – patrz rys. 1.

Rys. 1

Jeśli na taką siatkę padnie prostopadle fala płaska o długości fali l zaobserwujemy silne ugięcie takiej wiązki we wszystkich kierunkach.

Będą to fale spójne. W wyniku ich interferencji w pewnych określonych kierunkach wiązki ugięte będą się wzajemnie wzmacniać, w innych zaś osłabiać.

Rozważmy teraz siatkę, w której sąsiednie szczeliny są odległe o d. Aby znaleźć kierunki wiązek ugiętych, dla których następuje wzmocnienie rozważmy wiązki ugięte pod kątem j.

Rys. 2

Pomiędzy promieniami wychodzącymi z dwóch odpowiadających sobie punktów sąsiednich szczelin A i B (rys. 2) istnieje różnica dróg BC = δ. Z trójkąta ABC, w którym AB = d oraz kąt BAC =Φ, możemy obliczyć wartość δ:

δ =d sin Φ. (1)

Jeśli różnica dróg równa jest całkowitej wielokrotności długości fali światła

δ = kl, (2)

to wiązki ugięte w tym kierunku będą się wzajemnie wzmacniały (interferencja konstruktywna). W tym przypadku otrzymamy jasne prążki interferencyjne.

kl = d sin Φ, (3)

czyli:

. (4)

Dla pozostałych kątów wiązki ugięte wzajemnie się osłabiają, bądź wzmocnienie jest znacznie słabsze.

Jeśli na siatkę pada światło monochromatyczne, to otrzymamy na ekranie szereg prążków przedzielonych ciemnymi pasmami. Dla k = 0 mamy jasny prążek, zwany również prążkiem zerowego rzędu. Do tych punktów ekranu docierają ze wszystkich szczelin fale, które przebyły jednakowe drogi. Natomiast dla k = 1,2,...n, otrzymujemy jasne prążki rzędu pierwszego, drugiego,... n-tego. Powstają one po obu stronach prążka zerowego rzędu, symetrycznie względem niego.

Jeżeli padające światło nie jest światłem monochromatycznym (np. światłem białym), ugięcie wiązki padającej jest jednoczesne z jej rozszczepieniem, ponieważ jak wynika ze wzoru 4 kąt ugięcia fali świetlnej zależy od jej długości. Dla różnych wartości k otrzymamy szereg widm ciągłych, odpowiadających kolejnym rzędom ugięcia k. Im wyższy rząd ugięcia siatki, tym natężenie ugiętego światła jest mniejsze.

Warto również zauważyć (wzór 4), że kąt ugięcia Φ zależy od stałej siatki d – jest tym większy im stała siatki mniejsza.

Jak już wspomnieliśmy, na ekranie otrzymamy szereg jasnych prążków przedzielonych ciemnymi pasmami. Prążki te mają wyraźniej zarysowane krawędzie, aniżeli prążki otrzymane w doświadczeniu Younga. Na rys. 3 przedstawiono obrazy otrzymane za pomocą 2 rys (szczelin) – (a), 4 rys – (b) i 8 rys – (c). Widać, że ostrość otrzymanych prążków zależ od ilości szczelin N. Dobre siatki mają 1500 rys na 1 mm.

Rys. 3

Z powyższego wynika, że siatka dyfrakcyjna jest obok pryzmatu jednym z głównych elementów optycznych służących do rozszczepiania światła. Zatem wzór (3) jest podstawą pomiaru długości fal świetlnych za pomocą siatki dyfrakcyjnej. Pomiar ten jest tematem niniejszej pracy.

OPIS DOŚWIADCZENIA

Rys. 4

Schemat doświadczenia jest przedstawiony na rysunku 4. Światło lasera pada na siatkę dyfrakcyjną. W odległości l od siatki umieszczamy ekran. Na ekranie obserwujemy otrzymane widmo. Składa się ono z jasnego prążka zerowego rzędu i odległych od niego odpowiednio o y₁ i y₂ prążków rzędu pierwszego i drugiego. Jest oczywiste, że wszystkie rozumowania są słuszne jedynie w przypadku, gdy płaszczyzny siatki i ekranu są równoległe do siebie i prostopadłe do wiązki lasera.

Wartość występującego we wzorze (3) sinΦ można wyznaczyć z geometrii doświadczenia. Z rys. 4 jasne jest, że wielkości l i y są przyprostokątnymi. Rozwiązując trójkąt prostokątny, dla przeciwprostokątnej otrzymujemy: . Stąd . Po wstawieniu tej wartości do wzoru (3), otrzymujemy:

. (4)

Rys. 5

W naszym doświadczeniu widmo rejestrowane jest za pomocą fotodiody, którą, zamiast ekranu, umieszczono w płaszczyźnie prostopadłej do kierunku wiązki lasera. Jej położenie możemy precyzyjnie zmieniać. Wartości napięcia U w funkcji położenia fotodiody przedstawia wykres zilustrowany na rys 5.

Jak wynika ze wzoru (4), w doświadczeniu należy odczytywać i notować położenia y₁ i y₂, dla których otrzymujemy wartości maksymalne napięcia U (rys.5).

Ponadto, zmierzyć należy wartość l - odległość siatki dyfrakcyjnej od płaszczyzny, w której porusza się fotodioda (do zmierzonej odległości między oprawką siatki i obudową fotodiody dodać 10 mm).

WYKONANIE ĆWICZENIA

1. W pierwszej części ćwiczenia korzystamy z lasera He-Ne, w którym wykorzystuje się przejście atomowe (między dobrze określonymi poziomami energetycznymi). W związku z tym emituje on promieniowanie o dobrze określonej i znanej długości fali λ₁ = 632,8 nm. Przyjmując λ₁ jako daną, mierząc l₁ i i korzystając ze wzoru (4), możemy wyznaczyć stałą siatki (k – rząd widma)

Otrzymujemy więc cztery wartości d. Liczymy wartość średnią.

2. W drugiej części ćwiczenia korzystamy z lasera półprzewodnikowego. Będziemy wyznaczać długość fali λ₂ emitowanej przez ten laser. Korzystamy z wyznaczonej w poprzedniej części ćwiczenia wartości stałej siatki d. Mierząc l₂ i , (k – rząd widma) i ponownie korzystając ze wzoru (4) wyznaczamy λ₂:

.

Otrzymujemy więc cztery wartości λ₂. Liczymy wartość średnią.

OCENA BŁĘDÓW

W pierwszej części ćwiczenia wielkość λ₁ = 632,8 nm, wyznaczoną z dużą dokładnością, przyjmujemy jako nie obarczoną błędem. Błąd wielkości l₁ i l₂ wyznaczanych na podstawie pojedynczych pomiarów uważamy za równy dokładności pomiaru. Przy określaniu błędu wielkości y₁ i y₂ posługujemy się pojęciem błędu średniego.

Oprócz błędów przypadkowych należy się liczyć z błędami systematycznymi, które mogą wynikać z nie prostopadłego ustawienia płaszczyzny siatki względem kierunku wiązki, co podważa słuszność użytego wzoru.

ZADANIE DOMOWE (nieobowiązkowe)

Źródło jednocześnie emituje światło o dwóch długościach fali λ₁ i λ₂. Światło to jest kolejno kierowane na trzy, różniące się między sobą siatki. Różnią się one zarówno ilością rys N jak i wartościami stałych tych siatek d. Widma otrzymane za pomocą tych siatek są przedstawione na rysunku.

Co możesz powiedzieć o tych siatkach na podstawie przedstawionych widm? (co możesz powiedzieć o wartościach ich stałych d oraz o N – ilości rys).

LITERATURA:

· F. S. Crawford, Jr. „Fale” PWN Warszawa 1972 (rozdział 9: „Interferencja i dyfrakcja”)

ANEKS

Dyfrakcją światła nazywa się zespół zjawisk związanych z falową naturą światła i obserwowanych podczas rozchodzenia się światła w ośrodku zawierającym silne niejednorodności optyczne (na przykład przy przechodzeniu przez otwory w nieprzezroczystych przesłonach, w pobliżu granic ciał nieprzezroczystych itp.). W węższym znaczeniu przez dyfrakcję rozumiemy zjawisko uginania światła na umieszczonych na jego drodze przeszkodach, tzn. odstępstwo od praw optyki geometrycznej.

a b

Rys. 1

Na rys. 1 przedstawiono obrazy powstałe w wyniku dyfrakcji światła na: a) szczelinie pionowej i b) otworze kołowym.

Ugięcie nie ogranicza się do małych szczelin i otworów. Widoczne jest ono również na brzegach wszystkich cieni. Jeśli cień jest wytworzony przez światło jednobarwne (monochromatyczne), to brzeg cienia otoczony jest jednobarwną obwódką.

Jeśli mamy do czynienia ze światłem białym, obwódki barwne nakładają się, dając jeden rozmyty obraz brzegu.

Stopień ugięcia zależy od długości fali padającego światła w stosunku do rozmiarów przeszkody, co ilustruje rysunek 2.

Rys.2

Ugięcie nie zawsze jest zjawiskiem pożądanym, zwłaszcza gdy chcemy zobaczyć małe obiekty za pomocą mikroskopu. Jeśli obserwowany obiekt jest znacząco większy od długości fali, ugięcie jest stosunkowo słabe (podobne do tego, jakie pokazuje rysunek 2c. Gdy wielkość ciała jest rzędu długości padającego na nią światła, wtedy rozróżnienie szczegółów jego budowy staje się coraz trudniejsze z powodu rozmywania się ich brzegów (rys. 2a). Jeśli wreszcie ciało jest mniejsze od długości fali światła, to nie można na nim dostrzec żadnych szczegółów (rys. 2b).

Natomiast na rysunku 3 widoczny jest obraz dyfrakcyjny otrzymany przy ugięciu monochromatycznej fali świetlnej na dwóch równoległych szczelinach.

Rys. 3

Dzięki ugięciu monochromatycznej fali świetlnej otrzymujemy dwie rozbieżne wiązki, które częściowo nakładają się. W wyniku ich interferencji powstają na ekranie na przemian jasne i ciemne prążki.

Opisane doświadczenie po raz pierwszy wykonał Thomas Young. Podjął on również próby opisu zjawiska dyfrakcji opierając się na teorii falowej światła.

Rys.4

W celu obliczenia różnicy dróg Δr dwu fal ugiętych dochodzących do punktu A ekranu, zataczamy promieniem r₁ okrąg (rys 4). Część łuku BC możemy w przybliżeniu zastąpić odcinkiem BC prostopadłym do r₂. Wówczas różnicę dróg Δr przedstawia przyprostokątna trójkąta prostokątnego BCD. Zatem

(1)

W doświadczeniu Younga odległość l od szczelin do ekranu jest duża w porównaniu z widoczną na rysunku odległością y. Zatem kąt α jest mały. Dla małych kątów sin α możemy w przybliżeniu zastąpić tangensem tego kąta. Z rysunku 4 widać, że

(2)

Na podstawie (1) i (2), otrzymujemy

(3)

Warunek wystąpienia maksimum fali wypadkowej możemy wyrazić wzorem

(n = 0, 1, 2, ...) (4)

Dla n = 0 mamy jasny prążek, zwany również prążkiem zerowego rzędu. Do tych punktów ekranu docierają z obu szczelin fale, które przebyły jednakowe drogi. Natomiast dla n = 1 otrzymujemy jasny prążek pierwszego rzędu. Różnica dróg przebytych przez fale docierające do tych punktów ekranu wynosi 1λ. Między jasnymi prążkami zerowym i pierwszym występuje prążek ciemny. Po drugiej stronie prążka zerowego, symetrycznie względem niego, powstają również prążki ciemny i jasny.

Związek wyrażony wzorem (4) umożliwia pomiar długości fali światła. Pomiar ten jest przybliżony, między innymi ze względu na małą intensywność i ostrość prążków. Jakość obrazu znacznie się poprawia przy zastosowaniu wielu szczelin – siatki dyfrakcyjnej (patrz rys. 3 opisu).